ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΑ

1. Μία σύντομη ιστορία των Μαθηματικών

                                            

                                 H ιστορία των μαθηματικών from costas1

ΔΕΙΤΕ ΚΑΙ ΕΔΩ

                2. Η ετυμολογία των μαθηματικών

Μαθηματικά : Εμφανίζεται για πρώτη φορά ως λέξη που δηλώνει μια νέα επιστήμη στην αρχαία Ελλάδα. Προέρχεται από την ελληνική λέξη μάθημα.Πριν τους Έλληνες οι αρχαίοι λαοί όπως οι Αιγύπτιοι , οι Σουμέριοι , οι Κινέζοι κ.α. εκτελούσαν άτυπες μαθηματικές πράξεις με καθαρά χρηστικό και πρακτικό χαρακτήρα.Στην Αίγυπτο π.χ υπήρχαν οι γραφείς που μαζί με όλα τα γραφικά καθήκοντα μετρούσαν την έκταση των αγροτεμαχίων , υπολόγιζαν τους μήνες , έκαναν αστρολογικούς υπολογισμούς , επιλύαν προβλήματα καθημερινής ζωής. Όλα αυτά μέσα σε επαγγεματικά πλαίσια. Έτσι άτυπα έβρισκαν μαθηματικές μεθόδους που όμως περιοριζόταν σε υπολογιστικό χαρακτήρα με πρακτική αξία.Γι'  αυτό τα μαθηματικά πριν τους Έλληνες τα θεωρούμε "άτυπα ή ασυνείδητα μαθηματικά"Με τον Θαλή στην αρχαία Ελλάδα εισάγεται η έννοια της απόδειξης και αναζητούνται συμπεράσματα που έχουν καθολική ισχύ και μπορούν να αποδειχτούν.Ο Θαλής θεωρείται ο πατέρας των μαθηματικών ή ο πρώτος μαθηματικός στην Ιστορία τους.Επίσης αναπτύσσονται από τον ίδιο τα αφηρημένα μαθηματικά που κινούνται σε δεύτερο επίπεδο αυτό της μεταγνώσης.Δημιούργησαν δηλαδή αφηρημένες θεωρίες που δεν έχουν υπολογιστική αξία ( θεωρία λόγων , ομοιότητα , ισότητα κ.α.) με την βοήθεια όμως των οποίων επιλύουμε πρακτικά προβλήματα ( μέτρηση του ύψους μιας πυραμίδας , την απόσταση ενός πλοίου από την ακτή κ.α). Επίσης στην αρχαία Ελλάδα εμφανίζονται για πρώτη φορά επαγγεγματίες μαθηματικοί ως μια χωριστή τάξη διανοουμένων που προάγουν την μαθηματική επιστήμη και ιδρύουν σχολές με μαθητές όπου τους διδάσκουν τη νέα επιστήμη : τα μαθηματικά.Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα είναι η Πυθαγόρεια σχολή που έβγαλε σημαντικούς μαθηματικούς.Για πολλούς το ελληνικό θαύμα οφείλεται στις καινοτομίες της ελληνικής κοινωνίας όπως η δημοκρατία , το νόμισμα και το αλφάβητο που πρωτοεμφανίζονται τότε.
Άλγεβρα : Προέρχεται από την αραβική λέξη al-jebr που σημαίνει μεταφορά στο άλλο μέλος. Χρωστάει δηλαδή την ονομασία της στην γνωστή διαδικασία της επίλυσης πρωτοβάθμιων εξισώσεων. Στην πραγματικότητα al-jebr σημαίνει στα αραβικά "βάζω στη θέση του κάτι σπασμένο".Οι πρακτικοί ορθοπεδικοί στις μουσουλμανικές χώρες εκείνη την εποχή χτυπούσαν λίγο στα αριστερά και λίγο δεξιά το σπασμένο πόδι μέχρι να έρθει στη θέση του.Μετά το έδεναν με δύο σανίδες πάνω και κάτω.Ο μαθηματικός Χουαρίσμι λοιπόν παρομοίαζε την τεχνική αυτή των ορθοπεδικών με τη διαδικασία επίλυσης μιας εξίσωσης.Μετακινούμε τους γνωστούς και αγνώστους όρους αριστερά και δεξιά μέχρι να έρθει στη θέση του ο άγνωστος και να καταφέρουμε να τον αποκαλύψουμε.Οι δυτικοί έμποροι που είχαν συναλλαγές με τις αραβικές χώρες θαύμασαν τα κείμενα του Χουαρίσμι και τις μεθόδους του και τις έφεραν στην Ευρώπη.Τον 12ο ήδη αιώνα μ.Χ ο Χουαρίσμι ήταν μια διασημότητα στη Δύση.Από την παράφραση λοιπόν του al-jebr που χρησιμοποίησε ο Άραβας μαθηματικός πήρε το όνομά της η άλγεβρα που εγκαινιάστηκε στις αραβικές χώρες και πέρασε στην Ευρώπη.Η άλγεβρα λοιπόν δεν γεννήθηκε στην Ελλάδα, γιατί απλόυστατα γεννήθηκε στη Βαγδάτη! Από τότε άνθισε με τους ευρωπαίους μαθηματικούς. Αρχικά ο Ταρτάλια και ο Cardano επιλύουν με ριζικά την τριτοβάθμια και τεταρτοβάθμια εξίσωση. Κατόπιν ο Abel και ο Γκαλουά αποδεικνύουν ότι οι εξισώσεις ανωτέρου του τετάρτου βαθμού δεν είναι επιλύσιμες με ριζικά. Τον 15ο και 16ο αιώνα εδραιώνεται ο αλγεβρικός λογισμός.Σύμβολα  όπως : < , > από τον Τόμας Χάριοτ , = από τον Ρέκορντ , το σύμβολο της ρίζας από τον Ρούντολφ , του απείρου από τον Ουάλις , της δύναμης από τον Σικέ ενδυναμώνουν την άλγεβρα , ως μια χρήσιμη οικουμενική μέθοδο επίλυσης προβλημάτων και μοντελοποίησης της πραγματικότητας.Όταν τον 17ο αιώνα αναπτύσετται η αλγεβροποίση της γεωμετρίας με την ανακάλυψη της αναλυτικής γεωμετρίας από τους Φερμά και Ντεκάρτ αναδεικύεται η αξία της άλγεβρας που μπορεί να υποκαθιστά τη γεωμετρία. Η αρχαιοελληνική εμμονή στη γεωμετρία επηρεασμένη από την πλατωνική ιδεαλιστική αντίληψη υποκαθιστάται από την χρηστική υπεροχή της άλγεβρας στην επίλυση προβλημάτων και στην εφαρμογή στις επιστήμες.Ο νέος κλάδος των μαθηματικών με λίγους αιώνες ζωή παίρνει τη σκυτάλη και της αναγνωρίζεται το προβάδισμα.

           

Γεωμετρία : Ωφείλει και πάλι την  ονομασία της στους Έλληνες. Η μέτρηση της γης κατά κυριολεξία.Η ελληνική αρχαιότητα ήταν επηρεασμένη από την πλατωνική αντίληψη της ανωτερότητας της γεωμετρίας έναντι της αριθμητικής. Για τον Πλάτωνα που πίστευε στην αξία των ιδεών που βοηθούν στην τελείωση της ψυχής και στην αναζήτηση της αρμονίας και της αλήθειας η γεωμετρία ως μια επιστήμη εξαγωγής συμπερασμάτων βοηθούσε σε κατι τέτοιο. Έβλεπε δηλαδή με καλό μάτι την διανοητική ενασχόληση με την θεωρητική γεωμετρία που ακονίζει το νου,ενδυναμώνει τη λογική και αναζητεί τις γεωμετρικές αλήθειες.Η απαίτηση να αναζητούνται γεωμετρικές κατασκευές μόνο με χρήση κανόνα και διαβήτη ήταν πλατωνική άποψη , γιατί έτσι τα μαθηματικά γίνονται ένα εγκεφαλικό παιχνίδι λογικής ανύψωσης του ατόμου.Στα ελληνιστικά χρόνια με πρωτεργάτες τον Αρχιμήδη , τον Ήρωνα , τον Ιππία , τον Πτωλεμαίο κ.α η γεωμετρία χάνει τον θεωρητικό προσανατολισμό της και τον στατικό χαρακτήρα της.Μπαίνει για πρώτη φορά η κίνηση στη γεωμετρία.Σημεία που κινούνται , ευθείες που γλιστρούν και μετατοπίζονται, σχήματα που στρέφονται κ.α. Επίσης χρησιμοποιείται η γεωμετρία σε μηχανικές κατασκευές και έχουμε ένα τεχνολογικό θαύμα εκείνη την εποχή.Κατασκευάζεται η πρώτη ατμομηχανή από τον Ηρωνα , οι πολιορκητικές μηχανές από τον Αρχιμήδη , αστρολάβος από τον Πτολεμαίο κ.α.Η συμβολή της γεωμετρίας με τη νέα οπτική της είναι αξιόλογη.Η αναλυτική γεωμετρία  τον 17ο μ.Χ αιώνα όπως προείπαμε ανέδειξε την υπεροχή της άλγεβρας και τα μαθηματικά ξέφυγαν από την μονοκρατορία της γεωμετρίας που στηριζόταν στη επίδραση του Πλάτωνα ανά τους αιώνες.Χωρίς να χάνει την αξία της η γεωμετρία που παραμένει κορωνίδα του μαθηματικού οικοδομήματος δεν μονωπολεί το μαθηματικό γίγνεσθαι.

Σύγχρονα μαθηματικά: Τα μαθηματικά στην Δυτική Ευρώπη μετά τον 12ο αιώνα γνώρισαν μεγάλη άνθιση. Αρχικά αναπτύχθηκε ο νέος κλάδος των μαθηματικών η άλγεβρα.Επιλύθηκαν οι εξισώσεις μέχρι 4ου βαθμού. Αποκορύφωμα στάθηκε η εμφάνιση και στερέωση του αλγεβρικού συμβολισμού τον 15- 16ο αιώνα.Το σημαντικό άλμα αποτέλεσε η ανακάλυψη της αναλυτικής γεωμετρίας τον 17ο αιώνα και η ανακάλυψη του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Ο Νιούτον και ο Λάιμπνιτς μέσα από διαφορετικούς δρόμους ( ταχύτητα , πρόβλημα εφαπτομένης αντίστοιχα) θεωρούνται οι πρωτεργάτες του νέου κλάδου. Από τότε μελετώνται ποσότητες που πλησιάζουν άλλες χωρίς ποτέ να τις φτάνουν.Ακόμη καμπύλες , ακρότατα , μονοτονία. Υπολόγισαν εμβαδά καμπυλόγραμμμων χωρίων και μήκη καμπυλών με τη βοήθεια του ολοκληρώματος. Σε λίγο η παραγώγιση και η ολοκλήρωση θα γίνουν συνηθισμένες μαθηματικές πράξεις αντίστροφες μεταξύ τους όπως η τετραγωνική ρίζα και το τετράγωνο.Ακόμη στον ίδιο αιώνα πρωτοεμφανίζεται η θεωρία πιθανοτήτων στις επιστολές που αντάλλαξαν ο Φερμά με τον Πασκάλ και μελέτησαν την συνδυαστική.
   Από τότε στα 1949 τα μαθηματικά αριθμούν 3400 διαφορετικούς κλάδους και στα σημερικνά χρόνια κυκλοφορούν 200.000 θεωρήματα κάθε χρόνο στα επιστημονικά περιοδικά όλου του κόσμου. Ο " μολυσμός αυτός της σκέψης" όπως αποκαλέστηκε αποκλείει να υπάρχει μαθηματικός που να γνωρίζει όλη αυτή την παραγωγή μαθηματικής πληροφορίας.Ιδανικός μαθηματικός στις μέρες μας δεν είναι αυτός που τα ξέρει όλα , κάτι το αδύνατο , αλλά όποιος έχει την ευφή ιδέα να καινοτομήσει στα μαθηματικά και να τα οδηγήσει σε νέους πρωτότυπους δρόμους.

3. Πότε έκαναν την εμφάνισή τους τα σύμβολα των μαθηματικών;

Από πότε οι άνθρωποι για να συμβολίσουν το «ίσον»

 σχεδιάζουν τα δύο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα  =  ;

Από πότε ο άγνωστος παριστάνεται  με το γράμμα x ;

Πότε έκανε την εμφάνισή της η γραμμή κλάσματος ;

Το σύμβολο √ για την τετραγωνική ρίζα ;

Το σύμβολο :  για τη διαίρεση ;

Τα σύμβολα  συν + και  πλην – ;

Τα f(x)  για τη συνάρτηση; Το i για τη φανταστική μονάδα ; 

Είναι όλα ιδέες των Ευρωπαίων;

1220	Η γραμμή κλάσματος από τον  Leonardο da Pisa Fibonacci
1489	Το σύμβολα συν  + και πλην – σε αγγλικό εγχειρίδιο εμπορικής αριθμητικής
1525	Το   σύμβολο √   της τετραγωνικής ρίζας        Christoff Rudolf
1542	Η ανακάλυψη του βερνιέρου
1557	To = ως σύμβολο της ισότητας     Robert Record
1585	Ο τριγωνομετρικός όρος «εφαπτομένη» και το σύμβολο tang Thomas Fink
1585	Το δεκαδικό κλάσμα,  Το σύμβολο του δεκαδικού από τον Simon Stevin
1591	Στη θέση των αριθμών τα ΚΕΦΑΛΑΙΑ γράμματα.  Τα φωνήεντα για τους αγνώστους,   τα σύμφωνα για τους γνωστούς       François Viète
1591	A, A quadratum  ( άλφα τετράγωνο ) A cubum ( άλφα κύβος )       François Viète
1600	Τα σύμβολα  συν + και  πλην –  και σε γενική χρήση από τον François Viète
1617	Το σύμβολο του δεκαδικού γενικευμένο   John Napier
1617	Το σύμβολο του λογαρίθμου . Λογαριθμικοί πίνακες   John Napier
1617	Το σύμβολο cos για το συνημίτονο      John Napier
1620	Ο τριγωνομετρικός όρος «συνεφαπτομένη» και το σύμβολο cot  Edmund Gunter
1631	Τα σύμβολα της ανισότητας >  και   <   από τον Thomas Harriot Artis analytical praxis
1631	Το σύμβολο x για τον πολλαπλασιασμό    William Oughtrend
1637	Καρτεσιανές συντεταγμένες Rene Descartes
1637	Τα πεζά γράμματα του αλφαβήτου. Τα πρώτα a, b, c για γνωστούς, τα τελευταία x, y, z για αγνώστους                       Rene Descartes
1637	x2 , x3 x4       το σημερινό σύστημα συμβολισμού των εκθετών        Rene Descartes
1655	Το σύμβολο ¥ για το άπειρο από τον  John Wallis
1659	Το σύμβολο :  για τη διαίρεση από τον  Johann Heinrich Rahn
1668	Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός Isaac Newton
1669	Τα εμβαδόν μιας επιφάνειας ως ολοκλήρωμα Isaac Barrow (1630 - 1677)
1671	Τα «τονούμενα» x΄ και y΄ ως σύμβολα των παραγώγων ( fluxions ) Isaac Newton
1684	Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός     Leibniz
1684	Συμβολισμοί dx και ò  για τον διαφορικό και τον ολοκληρωτικό λογισμό Leibniz
1684	Τα διαφορικά d( xy ) και  d ( x/y)     Leibniz
1694	Ο όρος ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ       Leibniz
1696	Ο κανόνας του L'Hospital
1700	Πολικές συντεταγμένες        Jacob Bernoulli
1700	Διαφορική εξίσωση της παλλόμενης χορδής           Jacob Bernoulli
1706	Ο συμβολισμός π  3, 14159  William Jones
1715	Οι σειρές Taylor  f(x) = f(a) +  f΄(a)( x-a ) + f(ν-1)(a)( x-a )ν-1/ (ν-1)! + . .    Brook Taylor
1728	Ο αριθμός e = 2,17828  εισάγεται  από τον Leonhard Euler
1730	ν τιμές για τη νιοστή ρίζα     Abraham de Moivre
1734	Το f(x)  ως σύμβολο της συνάρτησης      Alexis Clairaut    Leonhard Euler
1740	y" + ky = f(x)      Η λύση της διαφορικής εξίσωσης από τον  Daniel Bernoulli
1743	Ταυτότητα του Euler   eix = cosx + isinx      Leonhard Euler
1748	Μετατροπή από καρτεσιανές στις πολικές συντεταγμένες   Leonhard Euler
1755	Το κεφαλαίο Σ ως σύμβολο αθροίσματος   Leonhard Euler
1777	Εισαγωγή του συμβόλου i  για τη φανταστική μονάδα      Leonhard Euler
1782	Η μαθηματική έννοια «δυναμικό»       Pierre Simon LaPlace
1788	Αναλυτική Μηχανική           Joseph Louis LaGrange
1799	Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας         Karl Friedrich Gauss
1808	Το σύμβολο ν! «ν παραγοντικό»    Christian Kramp         Strassbourg
1822	Σειρές Fourier       Jean Baptiste Fourier
1823	Η έννοια ΟΡΙΟ           Augustin Caushy
1832	Θεωρία ΟΜΑΔΩΝ    Group theory  Evariste Galois
1844	Υπερβατικοί αριθμοί Ο e και ο e2 δεν μπορεί να είναι ρίζες εξίσωσης με ρητούς συντελεστές  Liouville
1873	Ο e είναι υπερβατικός                         Charles Hermite
1882	Ο π  είναι υπερβατικός                   Ferdinand Lindemann
1854	Άλγεβρα Boole                        George Boole
1854	Γεωμετρία του Riemann        Bernhard Rieman
1857	Μήτρες        Matrix                   Arthur Cayley
1872	Group theory applied to geometry by Felix Klein
1873	Vector analysis introduced by James C. Maxwell

 Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας