Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2.1

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ΔΕΙΤΕ:
ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: http://www.slideshare.net/costas1/ss-47388791
ΤΑ ΑΡΧΕΙΑ GEOGEBRA:
1. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ
2. ΓΩΝΙΑΚΟ ΣΗΜΕΙΟ
3. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3
4. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4
5. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5

ΤΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: https://www.scribd.com/doc/263084898

Ι. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

     Σχετικά με την πρόταση, ότι κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι και συνεχής, πρέπει  να επισημάνουμε ότι, όχι μόνο δεν ισχύει το αντίστροφο, με το παράδειγμα του βιβλίου, αλλά ακόμη:

α) Η συνέχεια είναι αναγκαία (μόνο, όχι ικανή) συνθήκη για την παραγωγισιμότητα.

β) Αν δεν είναι συνεχής στο x₀ , τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο x₀.

γ) Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ενώ είναι συνεχείς, δεν είναι παραγωγίσιμες, π.χ.

φ(χ) = α + |x - β|, α, β∈R, x∈R.

δ) Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους, αλλά πουθενά

παραγωγίσιμες (π.χ. η περίφημη συνάρτηση του K. Weierstrass: «πολύπλοκη», που

δίνεται μέσω δυναμοσειράς αλλά και η μετεγενέστερη συνάρτηση του Waerden) 
δειτε: συνάρτηση Weierstrass  και συνάρτηση waerden

ε) Σε προβλήματα όπου ζητείται να βρεθούν κάποιες παράμετροι ώστε να είναι μια

συνάρτηση παραγωγίσιμη, εκμεταλλευόμαστε πρώτα την συνέχεια και μετά την

παραγωγισιμότητα της συνάρτησης



ΙΙ. Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

   H παράγωγος μιας συνάρτησης  σε ένα σημείο, έχει δυο εκφράσεις-σημασίες  (που αντιστοιχούν στις ανάγκες που την γέννησαν) :

α) την Γεωμετρική, εκφράζοντας το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης στην γραφική παράσταση της f σε μια θέση x = x₀ , και

β) την Φυσική, εκφράζοντας τον ρυθμό μεταβολής, δηλαδή την «ταχύτητα» του μεγέθους s(t) στη θέση t₀.

Ιστορικά:

Η παράγωγος και η χρήση της, όπως υπάρχει στα σύγχρονα βιβλία  (πρώτα ο ορισμός κ.λ.π. και μετά εφαρμογές) δεν έχει καμία σχέση με την ιστορική της εξέλιξη, που είναι ακριβώς αντίθετη.

Συνοπτικά μπορούμε να πούμε ότι, σε ένα διάστημα περισσοτέρων των 200 ετών, από τον P. Fermat (1601-1665), ως τον Weierstrass (1815 - 1897), η παράγωγος ακολούθησε την εξής πορεία:

Ο Fermat τη χρησιμοποίησε (ακρότατα κλπ), οι Νewton (: κινηματική προσέγγιση) και Leibniz (: γεωμετρική προσέγγιση) την «ανακάλυψαν», οι Τaylor, Euler, Maclaurin την ανέπτυξαν, ο Lagrange την ονόμασε και τη χαρακτήρισε και τέλος οι Cauchy και Weierstrass την όρισαν αυστηρά (βλ. περισσότερα στο σχετικό άρθρο του Ευκλείδη Γ ́, τεύχος 67, 2007)