Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α 2.2

Α 2.2 ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΔΕΙΤΕ:  

ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΔΩ: https://youtu.be/7Aj6Qd7Gp60 

ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ PPT 

ΤΑ ΑΡΧΕΙΑ GEOGEBRA ΕΔΩ:  

1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΕΤΡ. ΡΙΖΑΣ 

2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΡΙΖΑΣ 

ΤΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΔΩ: https://www.scribd.com/doc/261447281

ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Οι πιο γνωστοί αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί :1, 2, 3, και ούτω καθεξής. Παραδοσιακά, η ακολουθία των φυσικών αριθμών ξεκίνησε με 1 (το 0 δεν ήταν καν ένας αριθμός για τους αρχαίους Έλληνες.) Ωστόσο, τον 19ο αιώνα, οι θεωρητικοί μαθηματικοί και άλλοι άρχισαν να συμπεριλαμβάνουν το 0 και έτσι όλοι οι αριθμοί 0, 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 ,.......αποτελούν τους φυσικούς αριθμούς που πρώτα ο άνθρωπος αισθάνθηκε την ανάγκη να εκφράσει. Το σύνολο των φυσικών  συμβολίζεται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της λέξης Nature, που σημαίνει «φύση»). Τους φυσικούς αριθμούς τους χρησιμοποιούμε για να εκφράσουμε πλήθος, σειρά, θέση κτλ. και μας διευκολύνουν στην καθημερινή επικοινωνία με τους ανθρώπους.

Μετά ένας μαθητής μαθαίνει για τους ακέραιους αριθμούς. Αυτοί είναι οι φυσικοί και οι αντίθετοί τους. Η εισαγωγή των ακεραίων γίνεται για να διαχωριστούν μεγέθη τα οποία εμπλέκουν έννοιες, όπως φορά, κέρδος ή ζημία κτλ. Το σύνολο των ακεραίων συμβολίζεται με Z. Έτσι, Z ={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}. Είναι προφανές ότι τόσο το σύνολο των φυσικών, όσο και το υπερσύνολο του των ακεραίων είναι άπειρα σύνολα.

Επίσης από το δημοτικό οι μαθητές έρχονται σε επαφή και με ένα άλλο είδος αριθμών, τους ρητούς, δηλαδή τα κλάσματα. Συγκεκριμένα, τα κλάσματα με αριθμητή και παρονομαστή φυσικούς ή γενικότερα ακεραίους. Η εισαγωγή των κλασμάτων υπαγορεύεται από την ανάγκη να περιγραφούν ποσότητες που δεν μπορούν να παρασταθούν ως ακέραιες μονάδες. . Το σύνολο των ρητών παριστάνεται με το γράμμα Q.

Τώρα, θα πρέπει να τονιστεί ότι οι δεκαδικοί αριθμοί δεν αποτελούν ένα ιδιαίτερο σύνολο αριθμών αλλά είναι ένα είδος γραφής των αριθμών με τη χρήση δεκαδικών ψηφίων. Στις εφαρμογές χρησιμοποιούμε δεκαδικές προσεγγίσεις των διαφόρων μεγεθών οι οποίες είναι ρητοί αριθμοί. Αυτό αρχικά μπορεί να δημιουργήσει την αντίληψη ότι όλα τα φυσικά μεγέθη, δηλαδή οτιδήποτε μπορεί να μετρηθεί, μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια των ρητών αριθμών. Η αντίληψη αυτή είχε αναχθεί σε φιλοσοφικό δόγμα από τη σχολή των Πυθαγορείων σύμφωνα με την οποία «Όλα τα μεγέθη είναι σύμμετρα», δηλαδή κλάσματα με αριθμητή και παρονομαστή ακεραίους. Σύμφωνα με την αντίληψη αυτή, κάθε τι που μπορεί να μετρηθεί παριστάνεται με έναν ρητό αριθμό. Ο αριθμός √2  ,δηλαδή ο θετικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ο 2, είναι μια υπαρκτή οντότητα. Αυτό όμως αποδείχθηκε ότι δεν ισχύει. Έτσι προκύπτει αντίφαση. Η υπόθεσή μας λοιπόν ότι ο √2 είναι ρητός καταρρέει και μαζί της καταρρέει και το δόγμα των Πυθαγορείων. Η δυσάρεστη αυτή αλήθεια ανακαλύφθηκε από τους ίδιους τους Πυθαγόρειους, ίσως από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Ο θρύλος θέλει τον Ίππασο τον Μεταπόντιο, μαθητή του Πυθαγόρα ως τον ένοχο. Λέγεται ότι για να τον τιμωρήσουν τα άλλα μέλη της Σχολής, σ’ ένα ταξίδι από την Κόρινθο προς την έδρα τους τον Κρότωνα, τον έριξαν στη θάλασσα με τραγικό γι’ αυτόν τέλος.

Ο √2 =1,4142135623730950488016887242097...... φαίνεται ότι είναι ο πρώτος μη ρητός που ανακαλύφθηκε. Οι μη ρητοί λέγονται άρρητοι αριθμοί. Η δεκαδική μορφή ενός άρρητου περιέχει άπειρα ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται κατά περιοδικό τρόπο. Αν επαναλαμβάνονταν, ο αριθμός αυτός θα ήταν ρητός. Έτσι, ο ρητός 5/21 γράφεται στη δεκαδική μορφή ως 0,23809523809523809523809523809524........, ενώ ο √2  δεν έχει αυτή την ιδιότητα.

Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί, μαζί, αποτελούν το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή των αριθμών που αντιπροσωπεύουν κάθε ποσότητα που μπορεί να μετρηθεί. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με το σύμβολο R. Οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται γεωμετρικά με όλα τα σημεία της ευθείας που θεωρήσαμε προηγουμένως. Γι’ αυτό και η ευθεία μας θα λέγεται στο εξής ευθεία των πραγματικών ή πραγματική ευθεία.