ΔΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ

Ένα σύγχρονο γεωμετρικό πρόβλημα στην κλασική Αθήνα! 

 

Στον Πλατωνικό διάλογο «Μένων 82a-85b» συναντάμε ένα γεωμετρικό πρόβλημα, το οποίο είναι πρόβλημα και της σύγχρονης γεωμετρίας.

Ο Σωκράτης προσκαλεί έναν από τους δούλους που τον συνοδεύουν, ο οποίος γνωρίζει ελληνικά αλλά όχι μαθηματικά να εξετάσει μαζί του το εξής γεωμετρικό πρόβλημα: 

με ποιο τρόπο μπορεί να διπλασιάσει ένα τετράγωνο. 

Δηλαδή να βρει την πλευρά τετραγώνου, το οποίο έχει εμβαδό διπλάσιο από το αρχικό. Μολονότι ο δούλος δεν γνωρίζει γεωμετρία, παρακολουθεί και άλλοτε συναινεί και άλλοτε όχι στην πορεία των σκέψεων του Σωκράτη.

 

Ακολουθούν δύο απόπειρες επίλυσης του προβλήματος από το δούλο:

  

 

 

 

 Ο Σωκράτης προχωρεί τέλος στον τετραπλασιασμό του τετραγώνου. Σχηματίζοντας τέσσερα τετράγωνα σε σχήμα τετραγώνου τα μοιράζει σε δύο σύροντας τη διαγώνιο· έτσι καταλήγει σ᾿ ένα τετράγωνο, που είναι διπλάσιο του πρώτου. Το συμπέρασμα που βγάζει μαζί με τον δούλο είναι ότι ο διπλασιασμός του τετραγώνου γίνεται, όταν σχηματίσουμε ένα άλλο τετράγωνο με πλευρά τη διαγώνιο του πρώτου.

 

 Πώς θα γράφαμε την απόδειξη με σημερινό συμβολισμό;

 

ΚΑΙ ΛΙΓΑ ΑΠΟ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ:

Η θεωρία της ανάμνησης (Μένων 80d-86c)

 

  Οι δύο πλατωνικές θεωρίες: η θεωρία της ανάμνησης και η θεωρία της αθανασίας της ψυχής που πραγματεύται ο Πλάτωνας στο έργο του Μένων, αναδεικνύονται μεσα απο αυτο το γεωμετρικό πρόβλημα του Πλάτωνα.  

 Μέσα από τα βήματα που ακολούθησε ο δούλος για να λύσει το πρόβλημα, αποδεικνύεται ότι τον μαθηματικό συλλογισμό τον αντλεί από μέσα του. Ο δούλος τώρα θυμήθηκε, λειτούργησε μέσα του η ἀνάμνησις. Γιατί μέσα στην ψυχή του έχει τις αρχές του διπλάσιου, του τετραπλάσιου, του μισού, των σχημάτων και των μεταξύ τους σχέσεων. Ο δούλος έχει την ορθή γνώμη γι᾿ αυτά τα αισθητά σχήματα αντλώντας τις αρχές από μέσα του, ενεργοποιώντας την ανάμνησή τους. Ο δούλος ξαναθυμήθηκε γνώση που δεν διέθετε. Συνεπώς, αφού κανείς δεν δίδαξε τον δούλο, έπεται ότι η ψυχή του κατείχε τις ορθές γνώμες, οι οποίες με τις ερωτήσεις ανακινήθηκαν και μετατράπηκαν σε γνώση. Και εφόσον η ψυχή κατέχει συνεχώς την αλήθεια των όντων, είναι αθάνατη. Με άλλα λόγια: Ο δούλος κάποτε «είχε» τη γνώση που λησμόνησε αργότερα, και αφού ποτέ του στη ζωή αυτή δεν «διδάχτηκε» γεωμετρία, το «κάποτε» κατ᾿ ανάγκην σημαίνει «πριν γίνει άνθρωπος»· και έτσι διαπιστώνουμε την αθανασία της ψυχής.