Ο ΑΡΙΘΜΟΣ π

  Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ π

 

Μια παρουσίαση της ιστορίας του διάσημου αριθμού π που έγινε σε συνεργασία με τη μαθήτρια μου Βρυώνη Παναγιώτα της τάξης Β3 του 7ου Γυμνασίου Καλαμάτας στο πλαίσιο του μαθήματος για τον κύκλο στα Μαθηματικά. Συνοδεύεται με αρχείο geogebra όπου παρουσιάζεται η μέθοδος υπολογισμού του Αρχιμήδη. 

ΔΕΙΤΕ ΤΟ VIDEO ΕΔΩ:  https://youtu.be/Lqo3h-ufYeY

ΔΕΙΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ GEOGEBRA ΕΔΩ: https://tube.geogebra.org/student/m824445

Υπολογισμός του π.

Ο Αρχιμήδης ήταν ο πρώτος που έδωσε μια επιστημονική μέθοδο υπολογισμού του π και κατάφερε να προσεγγίσει την τιμή του όσο κανένας άλλος μέχρι τότε. (εικ.44)  Έπρεπε να περάσουν 500 χρόνια σε έναν άλλον τόπο, την Κίνα , για να πάρουμε μια μεγαλύτερης ακρίβειας τιμή.. Η μέθοδός του έγκειται στον υπολογισμό της περιμέτρου ενός κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου (εσωτερικό) σε κύκλο, που είναι μικρότερη της περιφέρειας του κύκλου και άρα και της περιμέτρου του περιγεγραμμένου (εξωτερικό) πολυγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όσο δε, αυξάνονται οι πλευρές του πολυγώνου τόσο πλησιάζει να γίνει κύκλος. (εικ.45)Επομένως αν θέλουμε να υπολογίσουμε τον κύκλο με μεγαλύτερη ακρίβεια πρέπει να κατασκευάσουμε ένα πολύγωνο με πολλές πλευρές.

Και εδώ πάλι φαίνεται η μεγαλοφυΐα του. Αντί να κατασκευάσει ένα εσωτερικό πολύγωνο με 96 πλευρές και να υπολογίσει την περίμετρό του, υπολόγισε την περίμετρο ενός 6γώνου και κατασκεύασε τον αλγόριθμο που δίνει την περίμετρο όλων των πολυγώνων που είναι το καθένα διπλάσιο του προηγουμένου. Δηλαδή της ακολουθίας των εγγεγραμμένων πολυγώνων με πλευρές 6, 12, 24, 48 και 96 κλπ .Με άλλα λόγια ξεκινώντας από ένα κανονικό εξάγωνο και διπλασιάζοντας τις πλευρές του, έφτασε σε ένα κανονικό πολύγωνο 96 πλευρών. Αυξάνοντας αρκετά τον αριθμό των πλευρών, οι περίμετροι του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου πολυγώνου προσεγγίζουν εξωτερικά και εσωτερικά την περιφέρεια του κύκλου.

Έτσι φτάνοντας σε πολύγωνο 96 πλευρών ο Αρχιμήδης περιόρισε την τιμή του π στο διάστημα  ή χρησιμοποιώντας δεκαδικά ψηφία : 3,142857...> π > 3,140845... Προσέξτε: δεν είπε το π είναι τόσο πχ =22/7 αλλά ότι βρίσκεται μεταξύ δυο οριακών τιμών και εγώ δεν μπορώ να το βρω ακριβώς. Και μάλιστα τα πράγματα είναι χειρότερα και από τους άρρητους αριθμούς, γιατί εκείνους μπορώ, τουλάχιστον, να τους κατασκευάσω με απόλυτη ακρίβεια ενώ αυτόν αδυνατώ. Αυτό είναι πρωτοφανές για την εποχή του. Έξω από οποιαδήποτε παραδεδεγμένη θεωρία αριθμών. Πλήρης ανατροπή της Πυθαγόρειας και Πλατωνικής αντίληψης. Θα λέγαμε και έξω από τη αντίληψη των αριθμών της αρχαίας ελληνορωμαϊκής σκέψης. Με λίγα λόγια ένα σκάνδαλο.

Και επειδή, λοιπόν, ήταν πέρα και έξω από την λογική τους εξέλαβαν το άνω όριο του Αρχιμήδη, σα να ήταν η τιμή του π. Έτσι οδηγήθηκαν σε μια ευρέως διαδεδομένη πεποίθηση ότι το π είναι ίσο με 22/7. Αυτός ο πολυγωνικός αλγόριθμος κυριαρχεί για πάνω από 1.000 χρόνια, και ως εκ τούτου το π μερικές φορές αναφέρεται ως "Σταθερά του Αρχιμήδη”. Να σημειωθεί το ότι ο Αρχιμήδης έφτασε σε αυτήν την προσέγγιση χωρίς τη γνώση τριγωνομετρίας ή την χρήση δεκαδικών ψηφίων.

 Η φράση που αποδίδεται στον Πλάτωνα, "Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί" και που αντιστοιχεί στη τιμή του π= 3,14159 είναι πολύ νεώτερη.

Αεί           = 3
           ο           = 1
        Θεός        = 4
            ο           =1
        μέγας       = 5
       γεωμετρεί = 9

Σίγουρα είναι μετά τον 15ο αιώνα μιας και δεν έχουμε καμία αρχαιότερη γραπτή πηγή να το βεβαιώνει. Από μερικούς μάλιστα διατυπώθηκε η άποψη ότι είναι του 19ου αιώνα και δημιουργήθηκε από έναν εμπνευσμένο μαθηματικό τον Νικόλαο Χατζηδάκη,(nikolaos hatzidakis in bulletin of the greek mathematical society (1924)) για να αποτελέσει μνημονικό κανόνα.

Το ότι είναι μύθευμα αποδεικνύεται επίσης και από τα εξής:

1. Οι αρχαίοι δεν ήξεραν τους δεκαδικούς αριθμούς και εκφραζόταν πάντα με κλάσματα άρα ήταν αδύνατο να χρησιμοποιούσαν το 3,14. Γι αυτούς οι αριθμοί ήταν μόνο ακέραιοι και μοναδιαία κλάσματα: [β΄] Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.» (Στοιχεία- Ευκλείδης, βιβλίο VII, όροι κγ΄).

2. Επειδή οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί γνώριζαν, πολύ καλά, ότι η διάμετρος ενός κύκλου δεν μπορεί να μετρήσει ακέραια την περιφέρεια του, καταλάβαιναν ότι αυτή η μέτρηση δεν μπορούσε να νομιμοποιηθεί ως αριθμός.

3. Είναι αδύνατον ο Πλάτωνας να είχε υπολογίσει τον π ακριβέστερα του Αρχιμήδη, 

4. Μέχρι την ελληνιστική εποχή από τον τρόπο χειρισμού των προβλημάτων που άπτονται κύκλους, φαίνεται ότι το εμβαδόν του κύκλου δεν αντιμετωπίζονταν ως πολλαπλάσιο της διαμέτρου ή της ακτίνας του. Και κατά συνέπεια δεν υπήρχε η αντίληψη του π. Και αυτό συμβαίνει και σε όλους τους αρχαίους λαούς. Την τιμή του π που τους αποδίδουμε, εξέρχεται από τη σύγχρονη ανάλυση και δεν αναφέρεται ρητά απ αυτούς. Ο πρώτος, από ότι γνωρίζουμε ως τώρα, που φανερά μιλάει και υπολογίζει το π είναι ο Αρχιμήδης.

Όλο το ποίημα:

Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί

3 1 4 1 5 9

το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω

2 6 5 3 5 8

παρήγαγεν αριθμόν απέραντον

9 7 9

καί όν, φεύ

3 2 3

ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι

8 4 6 2 6
3,1415926535897932384626

Σε όλες τις γλώσσες υπάρχουν πολλοί μνημονικοί κανόνες για το π. Να μερικοί στα Αγγλικά, Ισπανικά, Ιταλικά, Σέρβικα,Πορτογαλικά και Ρώσικα.

 How I wish I could calculate pi.(Πόσο θάθελα να μπορούσα να υπολογίσω τον π.)

Fue y cayó. Y queda solamente la inútil cifra con pocos destinos poderosos (Ήταν και έπεσε. Και αυτό είναι μόνο μια άχρηστη εικόνα με λίγους ισχυρούς προορισμούς)

Non è dato a tutti ricordare il numero aureo del sommo filosofo Archimede (Δεν είναι δεδομένο σε όλους να θυμούνται το χρυσό αριθμό του υπέρτατου φιλοσόφου Αρχιμήδη)

Čak i Grci i stari Vavilonci su kazali: Ακόμα και οι Έλληνες και οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι, δήλωσε

Com o zero o lente reprovará os alunos. (8 decimal places) — "With zero the university professor will fail the students."

Это я знаю и помню прекрасно,

I know the following and remember it perfectly,

 Ας ρίξουμε, τώρα, μια ματιά στις προσπάθειες των αρχαίων λαών. Οι παλαιότερες γραπτές προσεγγίσεις του π βρίσκονται στην Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα και απέχουν 1% από την σημερινή τιμή του π. Στη Βαβυλώνα, βρέθηκε ένας δίσκος, που χρονολογείται μεταξύ 1900 και 1600 π.Χ., και έχει μια γεωμετρική δήλωση που αντιμετωπίζει τον π ως 25/8  δηλαδή 3,125.

 Στην δε Αίγυπτο (vi)  βρέθηκε ο Πάπυρος Rhind ,ο οποίος χρονολογείται γύρω στα 1650 π.Χ., (αλλά έχει αντιγραφεί από ένα έγγραφο που χρονολογείται στα 1850 π.Χ.) έχει ένα μαθηματικό τύπο που αντιμετωπίζει την σταθερά π ως (16/9)² δηλαδή περίπου 3,1605.

Στην Ινδία γύρω στο 600 π.Χ., το Shulba Sutras (σανσκριτικά κείμενα που είναι πλούσια σε μαθηματικό περιεχόμενο) εξομοιώνει τον π με (9785/5568)² ≈ 3,088. Το 150 π.Χ., ή ίσως νωρίτερα, ινδικές πηγές θεωρούν τον π ως  ≈ 3,1622. Φθάνουμε στην Ιερουσαλήμ όπου σε απόσπασμα της βίβλου ( παλαιά διαθήκη, βασιλέων Γ’,7:23) αναφέρεται ένα κυκλικό θυσιαστήριο που είχε κατασκευαστεί στο ναό του Σολομώντα όπου ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο είναι 3.

Και τέλος στην Κίνα τον 5ο αιώνα μ.Χ. ο Chung Chih υπολογίζει το π=3,141592 που είναι η πιο ακριβής προσέγγιση της αρχαιότητας και παραμένει μέχρι τις μέρες μας.

Σήμερα υπολογίσαμε τον π μέχρι και ένα εκατομμύρια ψηφία αλλά συνήθως χρησιμοποιείται η προσέγγιση π ≈ 3,1416. Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510.

ΠΗΓΗ