Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α 2.1

Α 2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΔΕΙΤΕ:

• ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΔΩ: https://youtu.be/3dZ6d0xe8sM

• ΤΑ ΑΡΧΕΙΑ GEOGEBRA ΕΔΩ: ΠΑΡΤΕΡΙ

• ΤΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΔΩ: https://www.scribd.com/doc/261434556

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΩ ΕΥΚΟΛΑ ΤΗΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΕΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ

 Οι «ρίζες» της τετραγωνικής ρίζας βρίσκονται στο περίφημο Πυθαγόρειο θεώρημα. Το Θεώρημα ανακαλύφτηκε και αποδείχτηκε στο τέλος περίπου του 6 αι. π.Χ., στο περίφημο πανεπιστήμιο που είχε ιδρύσει ο Πυθαγόρας (580-500 π.Χ.) στον Κρότωνα. Πιστεύεται δε ότι είναι έργο του ίδιου του Πυθαγόρα. Λέω πιστεύεται γιατί οι έρευνες του Πανεπιστημίου, για λόγους μυστικιστικούς, δεν δημοσιεύονταν, με αποτέλεσμα  οι πληροφορίες μας να προέρχονται από μεταγενέστερες πηγές.

     Ενώ όμως  η επινόηση του Θεωρήματος ήταν κατάκτηση για την Γεωμετρία και τον πολιτισμό, για τους Πυθαγόρειους εμπνευστές του ήταν αφορμή για αμηχανία και εκνευρισμό .Και αυτό γιατί κατά την εφαρμογή του, για τον υπολογισμό διαγωνίων ορθογωνίων παραλληλογράμμων, υψών ισοπλεύρων τριγώνων και άλλων μηκών, διαπίστωσαν ότι δεν υπάρχουν αριθμοί που να μπορέσουν να εκφράσουν αυτά τα μήκη. Στο τετράγωνο, παραδείγματος χάριν, με μήκος πλευράς α=1 διαπίστωσαν ότι οι μέχρι τότε γνωστοί αριθμοί δεν μπορούσαν να εκφράσουν το μήκος της διαγωνίου του δ και αυτό γιατί το θεώρημα έδινε τη σχέση δ²=α²+α² ή την δ²=2. Όμως τι αριθμός ήταν αυτός ο δ που το τετράγωνό του ήταν ίσο με 2 ; Τέτοιος αριθμός δεν υπήρχε ούτε ακέραιος ούτε κλασματικός. Το σοκ ήταν ισχυρό γιατί οι Πυθαγόρειοι, που πίστευαν ότι η ουσία και η έκφραση των πάντων είναι οι αριθμοί, διαπίστωσαν ότι υπήρχαν τμήματα, όπως η διαγώνιος, που ενώ ήταν πλήρως αντιληπτά σαν μεγέθη, δεν μπορούσαν να εκφραστούν με τους τότε γνωστούς αριθμούς. Το αδιέξοδο αυτό, έθιγε ένα από τα βασικά δόγματα του Πυθαγορείου συλλόγου, πρέπει να προκάλεσε πλήθος συζητήσεων και μεγάλη αμηχανία. Οι συζητήσεις αυτές έγιναν αφορμή να μπει στη Γεωμετρία η έννοια των ασυμμέτρων μεγεθών, δηλαδή μεγεθών που δεν έχουν κοινό μέτρο, και αργότερα να επινοηθεί μέθοδος για τον υπολογισμό των τετραγωνικών ριζών.

     Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι πιθανόν ο πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε χωρίς να είναι ρητός. Η ανακάλυψη έγινε πιθανότατα από τον Πυθαγόρειο φιλόσοφο Ίππασο, ο οποίος μάλλον δολοφονήθηκε με πνιγμό για αυτήν την ανακάλυψη. Σύμφωνα με τους Πυθαγόρειους κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος, η ανακάλυψη του Ίππασου αποδείκνυε ότι αυτό δεν ισχύει. Η επινόηση μεθόδου για τον υπολογισμό τετραγωνικών ριζών κατορθώθηκε 150 χρόνια περίπου μετά την ανακάλυψη του Πυθαγορείου Θεωρήματος, από τον Αρχύτα τον Ταραντίνο (428-365 π.Χ.) τον τελευταίο των Πυθαγορείων. Ο Αρχύτας  λοιπόν βρήκε τρόπο να περιγράφει άρρητους αριθμούς αναδρομικά, ώστε να μοιάζουν με κλάσματα. Για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 μπορεί να γραφτεί στην εξής αναδρομική κλασματική μορφή:

    Οι Πυθαγόρειοι πιθανόν να χρησιμοποίησαν γεωμετρικό συλλογισμό για να αποδείξουν ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος. Σήμερα γνωρίζουμε πολλές μη γεωμετρικές αποδείξεις της αρρητότητας του 2, όλες με την «εις άτοπον απαγωγή». Οι μαθηματικοί κατά την Αλεξανδρινή εποχή ασχολήθηκαν με τις τετραγωνικές ρίζες, αλλά σύντομα συμπεριέλαβαν στη μελέτη τους και τις κυβικές. Ο σύγχρονος συμβολισμός της τετραγωνικής ρίζας άρχισε να χρησιμοποιείται το 1525 από τον Christoff Rudolf.  Από τότε, ο συμβολισμός έχει επεκταθεί και για τις υπόλοιπες νιοστές ρίζες, με τη διαφορά ότι πάνω αριστερά αναγράφεται το ν.