ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

Ας δούμε τι μάθαμε....

1. ΘΕΩΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία όλες οι κατασκευές γίνονται με κανόνα και διαβήτη. Μόνο! Κανόνας είναι ο αδιαβάθμητος χάρακας που μας επιτρέπει να ενώνουμε δυο σημεία μεταξύ τους κατασκευάζοντας ένα ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα μικρό κομμάτι μιας ευθείας.
Οι μαθητές, με ελάχιστες εξαιρέσεις, ξεχνούν να βάλουν στην τσάντα τους τα γεωμετρικά τους όργανα και όλα τα σχήματα που απαιτεί το μάθημα της ημέρας γίνονται στα τετράδια τους πρόχειρα, με το χέρι. Κύκλοι αυγά, ευθείες κατσαρές, παράλληλες που τέμνονται και ένα πλήθος αντιφάσεων που, για χάρη του μαθήματος, θεωρούμε ότι αποτελούν τα ιδανικά γεωμετρικά σχήματα, τα οποία ούτως ή άλλως δεν υπάρχουν στον υλικό κόσμο, αλλά ζούνε μόνο μέσα στο μυαλό μας, όπως και όλα τα υπόλοιπα ιδανικά πράγματα!
Το σημερινό  μάθημα ωστόσο, οι "Απλές γεωμετρικές κατασκευές", δεν μπορούσε να γίνει παρά μόνο αν οι μαθητές χρησιμοποιούσαν τα δυο ευκλείδεια όργανα, επειδή ο στόχος του είναι να μάθουν  να κάνουν  κάποιες ειδικές κατασκευές!

 

 Όπως το πώς φέρνουμε τη μεσοκάθετο σε ένα ευθύγραμμο τμήμα,αξιοποιώντας αφενός την ιδιότητα που έχουν τα σημεία της μεσοκαθέτου, να ισαπέχουν από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος, αφετέρου το μαγικό γεωμετρικό όργανο που λέγεται διαβήτης και είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο, όπως το κομπάσο που χρησιμοποιούν οι ναυτικοί για να χαράξουν πορεία...

Η κατασκευή της μεσοκαθέτου είναι σχετικά απλή  και τα καταφέραμε αρκετά καλά, παρά τον περιορισμένο αριθμό διαβητών στην τάξη. Οι επόμενες  κατασκευές όμως είχαν έναν αρκετά μεγαλύτερο βαθμό δυσκολίας! Αυτό δεν γίνεται πάντοτε άλλωστε; Όσο προχωράμε δεν δυσκολεύουν κάπως  τα πράγματα;

Το δοσμένο, αυτή τη φορά ήταν μια ευθεία, και το ζητούμενο να φέρουμε κάθετη σε ένα σημείο της Α! Ευθεία! Δηλαδή ούτε αρχή ούτε τέλος!? Και πώς να δουλέψει κανείς σε οντότητες αχανείς και ατελείωτες, όταν δεν μπορεί να τις προσαρμόσει μέσα στις, δυστυχώς, πεπερασμένες  ανθρώπινές του δυνατότητες;

Καταλάβαμε γρήγορα πόσο δύσκολο ήταν αυτό που μας ζητούσαν να κάνουμε και δεδομένου πως δεν είχαμε μαζί μας ούτε τα "όπλα" μας, αφού οι διαβήτες δεν είχαν μπει από βραδίς στις σχολικές τσάντες... :(, είμασταν σχεδόν έτοιμοι να εγκαταλείψουμε κάθε προσπάθεια!

Όμως τότε, λίγο πριν παραδοθούμε στην υπέρμετρη δυσκολία του προβλήματος, σε μια τελευταία προσπάθεια αντιμετώπισής του, σκεφτήκαμε να αξιοποιήσουμε ό,τι είχαμε πρόχειρο και ό,τι υπήρχε διαθέσιμο. Αυτό που διαθέταμε ήταν το σχήμα από την προηγούμενη κατασκευή, το οποίο υπήρχε ακόμη στον πίνακα. Αυτό ήταν! Κάποια μαθήτρια, επιμελής, με διαβήτη κι ό,τι άλλο έχει μια επιμελής μαθήτρια, σκέφτηκε να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας τον διαβήτη, πάνω στην ευθεία ένα ευθύγραμμο τμήμα που θα είχε για μέσο του το σημείο Α, οπότε, στη συνέχεια, θα μπορούσαμε να κάνουμε ό,τι κάναμε στην προηγούμενη περίπτωση. Ακολουθήσαμε τις οδηγίες της, περιοριστήκαμε σε ένα κομμάτι ΒΓ της απέραντης ευθείας και επιτέλους καταφέραμε να βγούμε από το ...αδιέξοδο!

 

Το επόμενο ζητούμενο ήταν ακόμη δυσκολότερο, γιατί ήθελε να φέρουμε κάθετη στην ευθεία ε, από ένα σημείο που δεν βρισκόταν πάνω της! Όμως τώρα είχαμε πια αποκτήσει εμπειρία!
Μόλις προ ολίγου είχαμε εφαρμόσει αυτό το "ανάγομαι στην προηγούμενη απλή  περίπτωση", μια μέθοδο που κατά κανόνα αξιοποιούν  τα Μαθηματικά, για να καταλύουν τα δύσκολα προβλήματα, αυτά  που  αντιστέκονται σαν ...  Πύργοι απόρθητοι!! Είμασταν αρκετά υποψιασμένοι και σε ελάχιστο χρόνο η λύση δόθηκε. Η κατασκευή ήταν παιχνιδάκι! 
Παρόλο που δεν είχαμε κάνει όλοι μας  χρήση του διαβήτη και δεν είχαμε εξοικειωθεί με τις κατασκευές, χρησιμοποιώντας τα δυο ευκλείδεια όργανα όσο θα έπρεπε, καταφέραμε να μάθουμε πως αντιμετωπίζει κανείς ένα δύσκολο πρόβλημα, βάζοντάς του "όρια" ή, εν προκειμένω,  βάζοντας άκρα Β, Γ και φέρνοντάς το έτσι στα δικά του, πεπερασμένα...πλην απεριόριστα,  ανθρώπινα  μέτρα!
Φτάνει να μη χάνει το  θάρρος του!
Και, στην περίπτωση που είναι εκπαιδευτικός και όχι μαθητής, να θυμάται αυτό που γράφει ο Ian Stewart στο βιβλίο του Επιστολές σε μια νεαρή μαθηματικό, που κυκλοφόρησε το 2008, από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ, όπου συμβουλεύει τη νεαρή φίλη του για το πώς θα πρέπει μελλοντικά να αντιμετωπίζει τους φοιτητές της, λέγοντάς της μεταξύ των άλλων και το εξής:

Για μένα, ο καλός δάσκαλος είναι εκείνος που έχει την ικανότητα να "μπαίνει" στη θέση του μαθητή. Δεν αρκεί να δίνεις όμορφες διαλέξεις και να βαθμολογείς διαγωνίσματα. Όλη η ουσία βρίσκεται στο να βοηθήσεις τους φοιτητές να κατανοήσουν την ύλη. Όταν δίνεις μια διάλεξη ή δέχεσαι στο γραφείο σου φοιτητές, πρέπει να θυμάσαι ότι αυτό που για σένα είναι εντελώς προφανές, μπορεί να φαίνεται μυστηριώδες και σκοτεινό σε κάποιον που δεν έχει τις γνώσεις σου.
Είναι κάτι που προσπαθώ να θυμίζω πάντοτε στον εαυτό μου. Όταν βαθμολογείς διαγωνίσματα, εύχομαι να μην αρχίσεις να αναρωτιέσαι, "Πώς γίνεται να διδάσκω αυτή την ύλη επί είκοσι χρόνια και αυτοί ακόμη δεν την καταλαβαίνουν;" Εάν κάθε χρονιά έρχονται καινούριοι φοιτητές, και συναντούν ακριβώς τις ίδιες δυσκολίες όπως και οι προηγούμενοι, επαναλαμβάνεις τα ίδια λάθη, δεν φταίνε εκείνοι' έπρεπε εσύ να τα είχες παρατηρήσει όλα αυτά προηγουμένως.
Αν συμβεί κάτι τέτοιο, μην εκλάβεις ως εντελώς αρνητικό το γεγονός ότι δεν τα είχες παρατηρήσει όλα αυτά προηγουμένως. Θεώρησε τον εαυτό σου τυχερό και εκμεταλλεύσου το (σελ. 209)

Ναι, πράγματι. Θεώρησε τον εαυτό σου τυχερό, εσύ, όπως κι εγώ, που μας δίνεται η ευκαιρία να δούμε μέσα από τα μάτια των παιδιών πόσο τρομακτική μπορεί να είναι αυτή η ευθεία, η τόσο οικεία σε σένα, σε μένα, στον καθένα που  έχει προ πολλού ... ευθυγραμμιστεί σε μια  στερεότυπη διαδικασία αναπαραγωγής της γνώσης!! :)